PID算法的一般形式、原理、公式等
01、PID的数学模型
在工业应用中PID及其衍生算法是应用最广泛的算法之一，是当之无愧的万能算法，如果能够熟练掌握PID算法的设计与实现过程，对于一般的研发人员来讲，应该是足够应对一般研发问题了，而难能可贵的是，在很多控制算法当中，PID控制算法又是最简单，最能体现反馈思想的控制算法，可谓经典中的经典。经典的未必是复杂的，经典的东西常常是简单的，而且是最简单的。
02、PID算法的一般形式
PID算法通过误差信号控制被控量，而控制器本身就是比例、积分、微分三个环节的加和。这里我们规定（在t时刻）：
3.偏差量为
03、PID算法的数字离散化
PID算法离散化后的式子：
比例参数
：控制器的输出与输入偏差值成比例关系。系统一旦出现偏差，比例调节立即产生调节作用以减少偏差。
积分参数
：积分环节主要是用来消除静差，所谓静差，就是系统稳定后输出值和设定值之间的差值，积分环节实际上就是偏差累计的过程，把累计的误差加到原有系统上以抵消系统造成的静差。
：微分信号则反应了偏差信号的变化规律，或者说是变化趋势，根据偏差信号的变化趋势来进行超前调节，从而增加了系统的快速性。
PID的基本离散表示形式如上。目前的这种表述形式属于位置型PID，另外一种表述方式为增量式PID，由上述表达式可以轻易得到：
那么：
+ 增量调节值。
04、目的
PID 的重要性应该无需多说了，这个控制领域的应用最广泛的算法了。本篇文章的目的是希望通过一个例子展示算法过程,并解释以下概念：
（2）理解P(比例环节)作用:基础比例环节。
疑问：何为稳态误差 为什么会产生稳态误差。
（3）理解I(积分环节)作用:消除稳态误差。
疑问：积分为何能消除稳态误差？
疑问：为何能减弱超调？
（5）理解各个比例系数的作
05、何为PID以及为何需要PID？
以下即PID控制的整体框图，过程描述为：
这里必须要先说下我们的目标，因为我们所有的控制无非就是想输出能够达到我们的设定，即如果我们设定了一个目标温度值，那么我们想要一个什么样的温度变化呢？
那这样大家应该就明白，如果使用温度一到就停止的办法，当然如果要求不高可能也行，但肯定达不到下图这样的要求，因为温度到了后余温也会让温度继续升高。而且温度自身也会通过空气散热的。
系统输出的响应目标
综上所述，我们需要PID的原因无非就是普通控制手段没有办法使输出快速稳定的到达设定值。
06、控制器的P、I、D项选择
下面将常用的各种控制规律的控制特点简单归纳一下：
(2)比例积分控制规律(PI)：在工程中比例积分控制规律是应用最广泛的一种控制规律。积分能在比例的基础上消除余差，它适用于控制通道滞后较小、负荷变化不大、被控参数不允许有余差的场合。如：在主线窑头重油换向室中F1401到F1419号枪的重油流量控制系统;油泵房供油管流量控制系统;退火窑各区温度调节系统等。
(3)比例微分控制规律(PD)：微分具有超前作用，对于具有容量滞后的控制通道，引入微分参与控制，在微分项设置得当的情况下，对于提高系统的动态性能指标，有着显著效果。因此，对于控制通道的时间常数或容量滞后较大的场合，为了提高系统的稳定性，减小动态偏差等可选用比例微分控制规律。如：加热型温度控制、成分控制。需要说明一点，对于那些纯滞后较大的区域里，微分项是无能为力，而在测量信号有噪声或周期性振动的系统，则也不宜采用微分控制。如：大窑玻璃液位的控制。
鉴于D规律的作用，我们还必须了解时间滞后的概念，时间滞后包括容量滞后与纯滞后。其中容量滞后通常又包括：测量滞后和传送滞后。测量滞后是检测元件在检测时需要建立一种平衡，如热电偶、热电阻、压力等响应较慢产生的一种滞后。而传送滞后则是在传感器、变送器、执行机构等设备产生的一种控制滞后。纯滞后是相对与测量滞后的，在工业上，大多的纯滞后是由于物料传输所致，如：大窑玻璃液位，在投料机动作到核子液位仪检测需要很长的一段时间。
Kp、Ti、Td三个参数的设定是PID控制算法的关键问题。一般说来编程时只能设定他们的大概数值，并在系统运行时通过反复调试来确定最佳值。因此调试阶段程序必须得能随时修改和记忆这三个参数。
07、数字PID控制器
（1）模拟PID控制规律的离散化
08、参数的自整定
在某些应用场合，比如通用仪表行业，系统的工作对象是不确定的，不同的对象就得采用不同的参数值，没法为用户设定参数，就引入参数自整定的概念。实质就是在首次使用时，通过N次测量为新的工作对象寻找一套参数，并记忆下来作为以后工作的依据。具体的整定方法有三种：临界比例度法、衰减曲线法、经验法。
1.1 在纯比例作用下，逐渐增加增益至产生等副震荡，根据临界增益和临界周期参数得出PID控制器参数，步骤如下：
（1）将纯比例控制器接入到闭环控制系统中（设置控制器参数积分时间常数Ti =∞，实际微分时间常数Td =0）。 （2）控制器比例增益K设置为最小，加入阶跃扰动（一般是改变控制器的给定值），观察被调量的阶跃响应曲线。
（3）由小到大改变比例增益K，直到闭环系统出现振荡。
（4）系统出现持续等幅振荡时，此时的增益为临界增益（Ku），振荡周期（波峰间的时间）为临界周期（Tu）。
（5） 由表1得出PID控制器参数。
1.2 采用临界比例度法整定时应注意以下几点：
（2）由于被控对象特性的不同，按上表求得的控制器参数不一定都能获得满意的结果。对于无自平衡特性的对象，用临界比例度法求得的控制器参数往住使系统响应的衰减率偏大（ψ＞0.75 ）。而对于有自平衡特性的高阶等容对象，用此法整定控制器参数时系统响应衰减率大多偏小（ψ＜0.75 ）。为此，上述求得的控制器参数，应针对具体系统在实际运行过程中进行在线校正。
（3） 临界比例度法适用于临界振幅不大、振荡周期较长的过程控制系统，但有些系统从安全性考虑不允许进行稳定边界试验，如锅炉汽包水位控制系统。还有某些时间常数较大的单容对象，用纯比例控制时系统始终是稳定的，对于这些系统也是无法用临界比例度法来进行参数整定的。
（1） 当KpKu > 20时，应采用更为复杂的控制算法，以求较好的调节效果。
（3）当1.5 <KpKu< 2时，在对控制精度要求不高的场合仍可使用PID控制器，但需要对表1进行修正。在这种情况下，建议采用SMITH预估控制和IMC控制策略。
（4）当KpKu< 1.5时，在对控制精度要求不高的场合仍可使用PI控制器，在这种情况下，微分作用已意义不大。
衰减曲线法与临界比例度法不同的是，闭环设定值扰动试验采用衰减振荡（通常为4:1或10:l），然后利用衰减振荡的试验数据，根据经验公式求取控制器的整定参数。整定步骤如下：
（2）系统稳定后，作设定值阶跃扰动，观察系统的响应，若系统响应衰减太快，则减小比例增益K；反之，应增大比例增益K。直到系统出现如下图（a）所示的4:1衰减振荡过程，记下此时的比例增益Ks及和振荡周期Ts数值。
（3）利用Ks和Ts值，按下表给出的经验公式，计算出控制器的参数整定值。
采用衰减曲线法必须注意几点：
（1）加给定干扰不能太大，要根据生产操作要求来定，一般在5%左右，也有例外的情况。
（2）必须在工艺参数稳定的情况下才能加给定干扰，否则得不到正确得整定参数。
（3）对于反应快的系统，如流量、管道压力和小容量的液位调节等，要得到严格的4：1衰减曲线较困难，一般以被调参数来回波动两次达到稳定，就近似地认为达到4：1衰减过程了
（4）投运时，先将K放在较小的数值，把Ti减少到整定值，把Td逐步放大到整定值，然后把K拉到整定值（如果在K=整定值的条件下很快地把Td放到整定值，控制器的输出会剧烈变化）。
3.1方法一A：
（2）确定积分时间常数比例增益P确定后，设定一个较大的积分时间常数Ti的初值，然后逐渐减小Ti至系统出现振荡，之后在反过来，逐渐加大Ti至系统振荡消失。记录此时的Ti，设定PID的积分时间常数Ti为当前值的150%~180%。
（4）系统带载联调，再对PID参数进行微调，直至满足要求。
（1）PI调节
（b）接下来把积分时间逐渐缩短至产生振荡，此时表示积分时间过短，应把积分时间稍加延长，直至振荡停止。
（2）PID调节
（b）加大微分时间使振荡停止，接着把比例度调得稍小一些，使振荡又产生，加大微分时间，使振荡再停止，来回这样操作，直至虽加大微分时间，但不能使振荡停止，求得微分时间的最佳值，此时把比例度调得稍大一些直至振荡停止。
（c）把积分时间调成和微分时间相同的数值，如果又产生振荡则加大积分时间直至振荡停止。
另一种方法是先从表列范围内取Ti的某个数值，如果需要微分，则取Td=（1/3~1/4）Ti，然后对δ进行试凑，也能较快地达到要求。实践证明，在一定范围内适当地组合δ和Ti的数值，可以得到同样衰减比的曲线，就是说，δ的减少，可以用增加Ti的办法来补偿，而基本上不影响调节过程的质量。所以，这种情况，先确定Ti、Td再确定δ的顺序也是可以的。而且可能更快些。如果曲线仍然不理想，可用Ti、Td再加以适当调整。
（1）在实际调试中，也可以先大致设定一个经验值，然后根据调节效果修改。
流量系统：P（%）40--100，I（分）0.1--1
液位系统：P（%）20--80， I（分）1—5
（2）以下整定的口诀：
4、复杂调节系统的参数整定
在整定参数前，先要明确串级调节系统的设计目的。如果主要是保证主参数的调节质量，对副参数要求不高，则整定工作就比较容易；如果主、副参数都要求高，整定工作就比较复杂。下面介绍“先副后主”两步参数整定法。
第二步：把副回路看成是主回路的一个环节，使用4：1衰减曲线法整定主回路，求得主控制器K1s和T1s。
如果主、副对象时间常数相差不大，按4：1衰减曲线法整定，可能出现“共振”危险，这时，可适当减小副回路比例度或积分时间，以达到减少副回路振荡周期的目的。同理，加大主回路比例度或积分时间，以期增大主回路振荡周期，使主、副回路振荡周期之比加大，避免“共振”。这样做的结果会降低调节质量。
如果主、副对象特性太相近，则说明确定的方案欠妥当，就不能完全依靠参数整定来提高调节质量了。
一是利用数字PID控制算法调节直流电机的速度，方案是采用光电开关来获得电机的转动产生的脉冲信号，单片机（MSP430G2553）通过测量脉冲信号的频率来计算电机的转速（具体测量频率的算法是采用直接测量法，定时1s测量脉冲有多少个，本身的测量误差可以有0.5转加减），测量的转速同给定的转速进行比较产生误差信号，来产生控制信号，控制信号是通过PWM调整占空比也就是调整输出模拟电压来控制的（相当于1位的DA，如果用10位的DA来进行模拟调整呢？效果会不会好很多？），这个实验控制能力有一定的范围，只能在30转/秒和150转/秒之间进行控制，当给定值（程序中给定的速度）高于150时，实际速度只能保持在150转，这也就是此系统的最大控制能力，当给定值低于30转时，直流电机转轴实际是不转动的，但由于误差值过大，转速会迅速变高，然后又会停止转动，就这样循环往复，不能达到控制效果。
二是利用数字PID控制算法调节直流减速电机的位置，方案是采用与电机同轴转动的精密电位器来测量电机转动的位置和角度，通过测量得到的角度和位置与给定的位置进行比较产生误差信号，然后位置误差信号通过一定关系（此关系纯属根据想象和实验现象来拟定和改善的）转换成PWM信号，作为控制信号的PWM信号是先产生对直流减速电机的模拟电压U，U来控制直流减速电机的力矩（不太清楚），力矩产生加速度，加速度产生速度，速度改变位置，输出量是位置信号，所以之间应该对直流减速电机进行系统建模分析，仿真出直流减速电机的近似系统传递函数，然后根据此函数便可以对PID的参数进行整定了。
两次体会都不是特别清楚PID参数是如何整定的，没有特别清晰的理论指导和实验步骤，对结果的整理和分析也不够及时，导致实验深度和程度都不能达到理想效果。
09、怎样形象理解PID算法？
小明接到这样一个任务：
小明接到任务后就一直守在水缸旁边，时间长就觉得无聊，就跑到房里看小说了，每30分钟来检查一次水面高度。水漏得太快，每次小明来检查时，水都快漏完了，离要求的高度相差很远，小明改为每3分钟来检查一次，结果每次来水都没怎么漏，不需要加水，来得太频繁做的是无用功。
开始小明用瓢加水，水龙头离水缸有十几米的距离，经常要跑好几趟才加够水，于是小明又改为用桶加，一加就是一桶，跑的次数少了，加水的速度也快了，
但好几次将缸给加溢出了，不小心弄湿了几次鞋，小明又动脑筋，我不用瓢也不用桶，老子用盆，几次下来，发现刚刚好，不用跑太多次，也不会让水溢出。这个加水工具的大小就称为比例系数。
小明又发现水虽然不会加过量溢出了，有时会高过要求位置比较多，还是有打湿鞋的危险。他又想了个办法，在水缸上装一个漏斗，每次加水不直接倒进水缸，而是倒进漏斗让它慢慢加。这样溢出的问题解决了，但加水的速度又慢了，有时还赶不上漏水的速度。
于是他试着变换不同大小口径的漏斗来控制加水的速度，最后终于找到了满意的漏斗。漏斗的时间就称为积分时间 。
小明又为难了!于是他又开动脑筋，终于让它想到一个办法，常放一盆备用水在旁边，一发现水位低了，不经过漏斗就是一盆水下去，这样及时性是保证了，但水位有时会高多了。
拿一个水池水位来说，我们 可以制定一个规则：
再把水位波动的趋势分为甚快、快、较快、慢、停几个区段，并区分趋势的正负；
当水位处于中值、趋势处于停顿的时候，不调节；
当水位处于较高、趋势缓慢变化 的时候，输出一个微小调节量就够了；
如上所述，我们需要制定一个控制规则表，然后制定参数判断水位区段的界值、波动趋 势的界值、输出幅度的界值。
根据设备有所不同，比例带一般为2～10%(温度控制)。
但是，仅仅是P控制的话，会产生下面将提到的offset (稳态误差)，所以一般加上积分控制(I)，以消除稳态误差。
比例控制中，经过一定时间后误差稳定在一定值时，此时的误差叫做稳态误差(off set)。
负载特性与控制特性曲线的交点和设定值不一致是产生稳态误差的原因。
比例带小时不会产生。为消除稳态误差，我们设定手动复位值--manual reset值(MR)，以消除控制误差。
如前所述，仅用比例控制不能消除稳态误差。
这就叫做手动复位(manual reset)，通常比例调节器上配有此功能。
为此，将MR(manual reset值)设为可变，则可自由整定(即调整)调节器的输出。只要手动操作输出相当于offset的量，就能与目标值一致。
在实际的自动控制中，每次发生off set时以手动进行reset的话，这样并不实用。在后面将叙述的积分控制功能，能自动消除稳态误差。
当系统存在误差时，进行积分控制，根据积分时间的大小调节器的输出会以一定的速度变化，只要误差还存在，就会不断的进行输出。
10、积分时间的定义
当积分项和比例项对于控制器的输出的贡献相同，即积分作用重复了一次比例作用时所花费的时间，就是积分时间。
微分控制(D)的功能是通过误差的变化率预报误差信号的未来变化趋势。
因此，它经常用来抵消积分控制产生的不稳定趋势。
因此，它经常用来抵消积分控制产生的不稳定趋势。
11、微分时间的定义
当输入量持续的以一定速率变化时，微分项和比例项对于控制器的输出的贡献相同，即微分作用重复了一次比例作用时所花费的时间，就是微分时间。
12、实际中如何使用？
我们看一个生活例子，冬天洗热水澡，需要先放掉一段时间的冷水，因为水管里有一段冷水，热水器也需要一个加热过程，等过了这段时间之后水温有些接近目标值后，开始调节水龙头来调节冷、热水之间的比例及出水量，之后再慢慢的微调，在洗浴过程中感觉温度不合适，再一点点的调节。这个过程，其实就是PID算法过程。我们之所以微调，是因为水温的变化速度与我调节的速度不相匹配，存在一个滞后效应，我们需要调节一点点，等一下再感觉一下温度，不够再调节一点点，再感觉，这个过程就叫PID算法，也可以说，滞后效应是引入PID的原因。
负反馈系统，都有滞后效应，但为什么运放、电源这类的却从来不提PID算法呢？这是因为这类系统的滞后延时时间非常短，若考虑这个延时，负反馈引入180度相位，延时恰好引入180度相位，则完全可能引起振荡。问题在于这个延时时间足够短，它的谐振频率点比较高，以运放为例，加入延时加上负反馈引起的谐振点为10MHz，但这片运放的频率响应是1MHz，则在10MHz下完全不可能导致振荡，因为这个芯片的频响特性只有1MHz。我们常用的线性电源IC，比如SOT23封装的LDO，假如输出不加电容，就会输出一个振荡的波形，相对来说电源IC的滞后效应比运放要大，但是，因为电源一般后面都要接大电容的，它的频响特性很低，接近直流0Hz，所以当有电容时候，就无法振荡了。
1、25~600度，100%的全功率加热工件，这是因为温差太大，前期要全功率，先加热到靠近目标温度。之所以考虑在600度，是因为滞后效应，若设定太高，当发现接近700度再停下来，但实际上，温度会冲过700度。当然，600度是一个经验值，以下几个温度点都是经验值，根据实际情况而来。
3、当达到P算法的稳态极限650度附近的时候，比如640度，就应该开启另外一个算法解决P算法引起的极限误差，那就是I算法。I算法就是为了消除这个P算法导致的误差值，毕竟我们想要的是700度，而不是650度。I算法，本质上讲就是获取一个700度下对应的一个驱动值，之后用这个驱动值来取代P算法，那么我们怎么得到这个驱动值呢，唯一的手段就是把之前的误差都累加起来，最后得到一个期望值，这个期望值就是我们想要的驱动值。因为只要与目标值存在误差，那么把这些误差值积累起来再去反馈控制，就能一步步的逼近目标值，这如同水温不够高，再加一点点热水，不够高再加，这样总能达到想要的水温。值得注意的是，I算法不能接入太高，必须要在P算法的后期介入，不然很容易积累过大。这个时候可以引入一个误差门限，比如误差为60，当作6来处理，误差为50，当作5来处理，消除大的误差值，具体根据项目情况决定。
4、当I算法把工件温度加热到很接近目标温度后，那么可以调节的范围就很小了，最后一点点的微动，让调节的每一次的变化，不要太大，这就是D算法。D算法本质上讲就是反对剧烈的变化，所以适用于达到目标温度的时候。
13、总结
PID算法其实不复杂，但从目前看，很多人都是因为对这三者的使用条件不了解导致的问题，都是从加热一开始，三个要素都上，结果可想而知。P算法是温度接近目标值的时候用，I算法是在P算法到稳态极限的时候用，D算法是达到目标值附近的时候用。实际项目中，D算法一般不用，效果不大。假如非要找一个现实中对应的实物，那么以开关电源为例，TL431基准电源比较器可以认为是P，输出滤波电容C是I，输出滤波电感是D，两者完全等价。它们各自的应用工作点可以认为：假设目标温度700度，600~800度：P算法；640~760度：I算法；690~710度：D算法。具体值，以实验为准，数据仅供参考。
最后给出一个PID最通俗的解读：我们设计一样东西，一般都是先打个样，这个样跟我们想要的接近，但细节没到位，这就是P，样有差异，所以就要修改，拟合逼近，这就是I，到了定稿，就不允许随便修改了，就算要修改，也是有限制的修改，这就是D。
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